ดีเทอร์มิแนนต์ไม่ใช่แค่จำนวนเดียว; มันเป็น ฟังก์ชันสเกลาร์ที่ไม่ซ้ำใคร ของเมทริกซ์จัตุรัสที่อธิบายปัจจัยการขยายเชิงเรขาคณิตและความสามารถในการกลับคืนทางพีชคณิตได้ โดยการเข้าใจกฎพื้นฐานที่ควบคุมผลคูณและการสลับแถว เราสามารถแยกการเปลี่ยนรูปที่ซับซ้อนออกเป็นขั้นตอนทางคณิตศาสตร์ง่ายๆ ได้
พลังของสมบัติผลคูณ
อาจเป็นผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดในทฤษฎีดีเทอร์มิแนนต์ก็คือ กฎผลคูณ:
$$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$
เอกลักษณ์นี้บอกเราถึงการขยายปริมาตรของการเปลี่ยนรูปแบบลำดับว่าเป็นเพียงผลคูณของปัจจัยการขยายแต่ละตัว จากนี้ เราสรุปผลโดยตรงสำหรับเมทริกซ์ผกผัน:
เนื่องจาก $A A^{-1} = I$ ดังนั้น $\det(A A^{-1}) = \det(I) = 1$
ตามกฎผลคูณ: $\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1$
ดังนั้น สำหรับเมทริกซ์ที่กลับคืนได้ทุกเมทริกซ์: $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$
ความสมมาตรและความตั้งฉาก
กฎที่ 10 ระบุว่า $\det A = \det A^T$. ซึ่งสร้างความสมมาตรอย่างสมบูรณ์ระหว่างแถวและคอลัมน์ คุณสมบัติใด ๆ ที่เราพิสูจน์เกี่ยวกับการสลับแถวหรือการรวมเชิงเส้นของแถว จะใช้ได้เหมือนกันกับคอลัมน์ ซึ่งนำไปสู่กรณีพิเศษของ เมทริกซ์ตั้งฉาก ($Q$):
- เมทริกซ์ตั้งฉากจะต้องสอดคล้องกับ $Q^T Q = I$
- ตามกฎผลคูณ: $\det(Q^T) \det(Q) = \det(I) = 1$
- เนื่องจาก $\det Q^T = \det Q$ เราจึงได้ $(\det Q)^2 = 1$
- สรุป: $\det Q = 1$ (การหมุน) หรือ $\det Q = -1$ (การสะท้อน)
คำเตือนเกี่ยวกับความไม่เป็นเชิงเส้น
จำเป็นต้องจำไว้ว่าดีเทอร์มิแนนต์เป็น ไม่ใช่ การแปลงเชิงเส้น แม้ว่า $f(A+B) = f(A) + f(B)$ จะเป็นจริงสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้น แต่มักจะเป็นเท็จสำหรับดีเทอร์มิแนนต์:
$$\det(A+B) \neq \det A + \det B$$
นอกจากนี้ การคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงที่ $k$ จะทำให้ $\det(kA) = k^n \det A$ สำหรับเมทริกซ์ขนาด $n \times n$ เนื่องจาก $k$ ขยายทุกแถวของเมทริกซ์ $n$ แถว
- $\det(AB) = \det(A)\det(B)$
- $\det(A^T) = \det A$
- $\det(kA) = k^n \det A$
- $\det(A^{-1}) = 1/\det A$